Gegeben sei ein Kreisbogen mit dem Winkel α , 0 ≤ α ≤ π 2 {\displaystyle {\text{Gegeben sei ein Kreisbogen mit dem Winkel }}\alpha ,0\leq \alpha \leq {\frac {\pi }{2}}}
Die Bezierkurve wird durch vier Punkte definiert: {\displaystyle {\text{Die Bezierkurve wird durch vier Punkte definiert:}}}
P 0 ( 1 / 0 ) P 1 ( 1 / s ) P 2 ( v / w ) P 3 ( cos α / sin α ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(1/0)\\P_{1}(1/s)\\P_{2}(v/w)\\P_{3}(\cos \alpha /\sin \alpha )\end{aligned}}}
Daraus ergibt sich folgende Gleichung für die Bezierkurve: {\displaystyle {\text{Daraus ergibt sich folgende Gleichung für die Bezierkurve:}}}
I ) x ( u ) = ( 1 − u ) 3 + 3 u ( 1 − u ) 2 + 3 u 2 ( 1 − u ) v + u 3 cos α 0 ≤ u ≤ 1 I I ) y ( u ) = 3 u ( 1 − u ) 2 s + 3 u 2 ( 1 − u ) w + u 3 sin α 0 ≤ u ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}I)\quad &x(u)&=&\quad (1-u)^{3}+3u(1-u)^{2}+3u^{2}(1-u)v+u^{3}\cos \alpha &\quad 0\leq u\leq 1\\II)\quad &y(u)&=&\quad 3u(1-u)^{2}s+3u^{2}(1-u)w+u^{3}\sin \alpha &\quad 0\leq u\leq 1\end{aligned}}}
. {\displaystyle {\text{.}}}
Die Verbindungslinie P 2 P 3 ¯ steht normal auf P 3 {\displaystyle {\text{Die Verbindungslinie }}{\overline {P_{2}P_{3}}}{\text{ steht normal auf }}P_{3}}
P 2 P 3 → ⊥ P 3 {\displaystyle {\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}\perp P_{3}}
I I I ) v cos α + w sin α = 1 I V ) v 2 + w 2 = s 2 + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}III)\quad &v\cos \alpha +w\sin \alpha &=&\quad 1\\IV)\quad &v^{2}+w^{2}&=&\quad s^{2}+1\end{aligned}}}
V ) x ( 1 / 2 ) = cos α 2 V I ) y ( 1 / 2 ) = sin α 2 {\displaystyle {\begin{aligned}V)\quad &x(1/2)&=&\quad \cos {\frac {\alpha }{2}}\\VI)\quad &y(1/2)&=&\quad \sin {\frac {\alpha }{2}}\end{aligned}}}
8 x ( 1 / 2 ) = 3 v + cos α + 4 = 8 cos α 2 8 y ( 1 / 2 ) = 3 s + 3 w + sin α = 8 sin α 2 {\displaystyle {\begin{aligned}8x(1/2)&=\quad 3v+\cos \alpha +4\\&=\quad 8\cos {\frac {\alpha }{2}}\\8y(1/2)&=\quad 3s+3w+\sin \alpha \\&=\quad 8\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{aligned}}}
( 3 v + cos α + 4 ) 2 + ( 3 s + 3 w + sin α ) 2 = 64 {\displaystyle {\begin{aligned}(3v+\cos \alpha +4)^{2}\quad +\quad (3s+3w+\sin \alpha )^{2}\quad =\quad 64\end{aligned}}}
9 v 2 + 16 + cos 2 α + 6 v cos α + 24 v + 8 cos α + 9 s 2 + 9 w 2 + sin 2 α + 6 s + 18 s w + 6 w sin α = 128 {\displaystyle {\begin{aligned}9v^{2}+16+\cos ^{2}\alpha \quad &+\\6v\cos \alpha +24v+8\cos \alpha \quad &+\\9s^{2}+9w^{2}+\sin ^{2}\alpha \quad &+\\6s+18sw+6w\sin \alpha \quad &=\quad 128\end{aligned}}}
9 s 2 + 12 v + 9 s w + 3 s sin α = 16 − 4 cos α {\displaystyle {\begin{aligned}9s^{2}+12v+9sw+3s\sin \alpha \quad =\quad 16-4\cos \alpha \end{aligned}}}
