File:2 conceptions of square root of 3 through tilings.svg

Français :
Un pavage peut couvrir un plan Euclidien en entier par une infinité d’éléments,  qui sont soit des triangles équilatéraux bord à bord,  chacun partagé en deux par une hauteur,  soit des carrés de deux tailles différentes,  dont le rapport des dimensions est celui d’une hauteur de triangle équilatéral à une moitié de son côté.  L’un ou l’autre pavage infini est à l’origine du calcul de  ${\displaystyle {\text{la longueur }}k\;}$ des hauteurs d’un triangle ayant trois côtés de longueur 2,  soit via une proportion à partir du premier pavage par des triangles rectangles isométriques,  soit via une relation de Pythagore à partir du second pavage,  dit “de Pythagore”.  Conclusion des deux raisonnements :   ${\displaystyle k\,{\text{ est}}}$ la grandeur positive dont le carré est 3,  plus brièvement c’est la racine carrée de 3 :  ${\displaystyle \;k\,=\,{\sqrt {3}}.}$

Nos yeux captent des formes et des idées dans un pavage,  un hexagone peut nous apparaître qui est régulier,  ou un agrandissement qui multiplie les longueurs par deux et les aires par quatre,  ou les longueurs par trois et les aires par neuf.  Une fois l’idée éclaircie,  la question suivante s’imposa à certains esprits :  quand le coefficient de multiplication des aires n’est pas un carré parfait,  que vaut exactement l’échelle d’agrandissement ?  Le défi d’une rigueur absolue aboutira au fil des siècles à l’invention des nombres dits “réels”,  dont l’ensemble désigné par ℝ contient des nombres irrationnels ${\displaystyle {\text{tels que }}\,{\sqrt {3}}.}$.  Par exemple l’assertion “${\displaystyle {\sqrt {3}}\,}$ est un nombre réel”,  ${\displaystyle {\text{traduite par “}}\,{\sqrt {3}}\,\in \,\mathbb {R} \,{\text{”,}}}$  témoigne d’une réelle imagination collective pour qui ne manque pas d’air,  ou n’est pas trop menacé par une montée des eaux,  un contrôle eau frontière,  etc.