File:ProjStereoConforme.png

Français : Démonstration géométrique du fait qu'une projection stéréographique est une transformation conforme. Soit M un point de la sphère autre que le pôle nord N et soit deux droites tangentes à la sphère en M. Soient les deux plans passant par N et M, et contenant respectivement chacune des deux droites. Les intersections de ces plans avec le plan de projection sont les images par la projection des deux droites tangentes en M. De plus, ces deux plans découpent dans la sphère deux cercles ayant la corde [NM] en commun et tangents aux deux droites initiales. Considérons les tangentes en N à chacun de ces deux cercles. Elles sont contenues dans chacun des deux plans, et parallèles au plan de projection. Elles sont donc parallèles aux projections des deux droites tangentes en M. L'angle qu'elles forment est donc égal à l'angle entre les deux projections. Mais par ailleurs, du fait de la symétrie des deux cercles par rapport au plan médiateur de [MN], N et les deux tangentes en N sont symétriques de M et des tangentes en M par rapport à ce plan médiateur, donc l'angle entre les tangentes en M est égal à celui entre les tangentes en N. Par conséquent, l'angle entre les deux tangentes en M est le même que celui entre leur projection.