File:Academ PlatonicDodecahedron twentyRegularHexagons GoldenRatio Notations.svg
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Summary[edit]
| Description |
English: Perspective of a platonic dodecahedron by orthographic projection onto a plane. The colors are not the same in this image, but the drawing of the solid is the same. Many notations are the same in this other image. φ is the golden ratio. L and R are vertices of the solid, Ω is its center. Whatever the sense of the rotation, one third of a turn around a straight line passing through a vertex and Ω transforms the solid into itself. Such a rotation also preserves any cross section perpendicular to the axis of rotation. For instance, BUVFMN have the vertices of two equilateral triangles with the same center and same size. A same point depicts Ω and (RΩ ), which is parallel to the sight direction. Two distinct planes perpendicular to (RΩ ) and not passing through Ω intersect the solid. One cross section is in front of the solide, the other one behind. Their common image is a regular hexagon, both cross sections really are regular hexagons. Another intersection of the solid with a plane perpendicular to (LΩ ) is a regular hexagon distorted by the perspective. Each plane of section is parallel to six edges, and intersects six other edges in the ratio φ + 1. If the shorter length cut on an edge is the unit of length, then the edge length is φ + 2. The side length of a hexagon is 2 φ + 1. There are twenty such cross sections. To inform about lengths, the drawing shows an incomplete tiling of a face by triangles of two different kinds. All are isosceles. Two triangles of the same kind are congruent. In one kind, the side length of two congruent sides is φ, the third side length is 1. In the other kind, the two equal sides lengths are 1, the third side length is φ. All triangles on the face of the solid are distorted by the perspective. But in the upper left, the drawing shows the real shapes of three triangles, joined together into a convex regular pentagon.
Français : Perpective d’un dodécaèdre de Platon par projection orthogonale sur un plan. Ce ne sont pas les mêmes couleurs dans cette image, mais le dessin du solide est le même. Beaucoup de notations sont les mêmes dans cette autre image. φ is le nombre d’or. L et R sont des sommets du solide, Ω est son centre. Quel que soit le sens de la rotation, un tiers de tour autour d’une droite passant par un sommet et Ω transforme le solide en lui-même. Une telle rotation conserve aussi toute section plane perpendiculaire à l’axe de rotation. Par exemple, BUVFMN a les sommets de deux triangles équilatéraux de même centre et même taille. Un même point représente Ω et (RΩ ), qui est parallèle à la direction de la vue. Deux plans distincts perpendiculaires à (RΩ ) et ne passant pas par Ω coupent le solide. Une section est devant le solide, l’autre derrière. Leur image commune est un hexagone régulier, les deux sections sont vraiment des hexagones réguliers. Une autre section du solide par un plan perpendiculaire à (LΩ ) est un hexagone régulier déformé par la perspective. Chaque plan de section est parallèle à six arêtes, et coupe six autres arêtes dans le rapport φ + 1. Si la plus petite longueur découpée sur une arête est la longueur unité, alors la longueur d’une arête est φ + 2. La longueur d’un côté d’un hexagone est 2 φ + 1. De telles sections sont au nombre de vingt. Afin de renseigner sur des longueurs, le dessin montre un pavage incomplet d’une face par des triangles de deux sortes différentes. Tous sont isocèles. Deux triangles d'une même sorte sont isométriques. Dans une sorte, deux côtés du triangle sont de longueur φ, le troisième est de longueur 1. Dans l’autre sorte, deux côtés sont de longueur 1, le troisième est de longueur φ. Tous les triangles sur la face du solide sont déformés par la perspective. Mais en haut à gauche, le dessin montre les formes réelles de trois triangles, assemblés en un pentagone régulier convexe. |
| Date | |
| Source | Own work |
| Author | Yves Baelde |
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|---|---|---|---|---|---|
| current | 08:28, 6 October 2010 | | 780 × 900 (4 KB) | Baelde (talk | contribs) | {{Information |Description={{en|1=Perspective of a platonic dodecahedron by orthographic projection onto a plane. The colors are not the same in this image, but t |
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