File:01 Würfelhalbierung-3.svg

Summary[edit]

Description01 Würfelhalbierung-3.svg	Deutsch: Würfelhalbierung, Näherungskonstruktion der Kantenlänge ${\displaystyle \approx {\tfrac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$ eines Würfels, der nahezu das halbe Volumen des Ausgangswürfel hat. English: Halving the cube, approximation construction of edge length ${\displaystyle \approx {\tfrac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$ of a cube which has almost half the volume of the given cube.
Date	6 June 2022
Source	Own work
Author	Petrus3743
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SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.

Konstruktion[edit]

Konstruktionsbeschreibung[edit]

Es beginnt mit dem Einheitskreis mit Radius ${\displaystyle {\overline {OA}}=1=a_{1}}$ und dem Einzeichnen des Durchmessers ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Als nächstes wird die zum Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ senkrecht stehende Mittelachse ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ eingetragen. Es folgt jeweils ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$; die Schnittpunkte sind ${\displaystyle E,E'}$ und ${\displaystyle F,F'}$. Eine nicht eingezeichnete Mittelsenkrechte des Abstandes ${\displaystyle {\overline {E'D}}}$ halbiert den Kreisbogen ${\displaystyle OE'D}$ in ${\displaystyle G}$. Eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ab ${\displaystyle G}$ ergibt die Strecke ${\displaystyle {\overline {GH}}}$. Den Punkt ${\displaystyle I}$ bestimmt man mithilfe einer nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes ${\displaystyle {\overline {HF'}}}$.

Weiter geht es mit dem Übertragen des Abstandes ${\displaystyle {\overline {IF'}}}$ ab ${\displaystyle E}$, dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle J}$. Eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ab ${\displaystyle J}$ ergibt die Strecke ${\displaystyle {\overline {JK}}}$. Der Punkt ${\displaystyle L}$ wird mithilfe einer nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes ${\displaystyle {\overline {KF}}}$ bestimmt. Die Verbindung des Punktes ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle L}$ schneidet den Kreisbogen ${\displaystyle AE'E}$ in ${\displaystyle M}$. Es folgen die Konstruktion des Quadrates ${\displaystyle PDOA}$ mit der Seitenlänge gleich ${\displaystyle a_{1}}$und die Diagonale ${\displaystyle {\overline {OP}}}$. Schließlich liefert die Parallele ${\displaystyle {\overline {MQ}}}$ zu ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ den Kosinus des Winkels ${\displaystyle OAM}$ gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {QR}}}$, deren Länge nahezu gleich dem Sollwert ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$ ist.

Ergebnis[edit]

In GeoGebra werden max. 15 gerundete Nachkommastellen angezeigt.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{in GeoGebra konstruierte Länge (gerundet) der Strecke }}\qquad {\overline {QR}}&=&&0{,}793700525984100\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{Sollwert }}\qquad -{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}&=-&&0{,}79370052598409973\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absoluter Fehler in GeoGebra nicht exakt evaluierbar }}\qquad F&=&&0{,}00000000000000026\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}}$

Beispiel zur Verdeutlichung der Fehler[edit]

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min.) wäre bezüglich der konstruierten Kantenlänge a₂ des verdoppelten Würfels 2 kein exakter absoluter Fehler evaluierbar.
  

Somit liegt die Vermutung nahe, dass der absolute Fehler < 1 mm ist.

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 vermutlich < 0,7 dm³ oder < 1  Liter.

Construction[edit]

Construction description[edit]

It starts with the (Unit_circle) with radius ${\displaystyle {\overline {OA}}=1=a_{1}}$ and the drawing of the diameter ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Next, the central axis ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ perpendicular to the diameter ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ is plotted. This is followed by an arc of radius ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ around ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$, respectively; the intersections are ${\displaystyle E,E'}$ and ${\displaystyle F,F'}$. An undrawn perpendular bisector of distance ${\displaystyle {\overline {E'D}}}$ bisects the arc ${\displaystyle OE'D}$ in ${\displaystyle G}$. A parallel to ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ from ${\displaystyle G}$ gives the line segment ${\displaystyle {\overline {GH}}}$. The point ${\displaystyle I}$ is determined with the help of an undrawn line segment bisector of the distance ${\displaystyle {\overline {HF'}}}$.

Continue by transferring the distance ${\displaystyle {\overline {IF'}}}$ from ${\displaystyle E}$, yielding the intersection point ${\displaystyle J}$. A parallel to ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ from ${\displaystyle J}$ gives the line segment ${\displaystyle {\overline {JK}}}$. The point ${\displaystyle L}$ is determined with the help of an undrawn perpendular bisector of the distance of the distance ${\displaystyle {\overline {KF}}}$. The tie line of the point ${\displaystyle A}$ with ${\displaystyle L}$ intersects the circular arc ${\displaystyle AE'E}$ in ${\displaystyle M}$. The construction of the square ${\displaystyle PDOA}$ with side length ${\displaystyle a_{1}}$ and the diagonal ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ follow. Finally, the parallel ${\displaystyle {\overline {MQ}}}$ to ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ yields the cosine of the angle ${\displaystyle OAM}$ equal to the line segment ${\displaystyle {\overline {QR}}}$ whose length is nearly equal to the setpoint ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$.

Result[edit]

A maximum of 15 rounded decimal places are displayed in GeoGebra.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{length of the line segment constructed (rounded) in GeoGebra }}\qquad {\overline {QR}}&=&&0.793700525984100\;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\\-{\text{setpoint }}\qquad -{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}&=-&&0.79370052598409973\dots \;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\\\hline {\text{absolute error in GeoGebra not exactly evaluable }}\qquad F&=&&0.00000000000000026\dots \;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\end{alignedat}}}$

Example to illustrate the absolute error[edit]

With a cube 1 with the edge length a₁ = 1 billion km (the light would need for this distance approx. 56 min.) the constructed edge length would be a₂ of doubled cube 2 no exact absolute error can be evaluated..

It is therefore reasonable to assume that the absolute error is < 1 mm.

• Given a cube 1 with edge length a₁ = 10 km the error of the volume of doubled cube 2 would probably be < 0,7 dm³ or < 1  liter.

Licensing[edit]

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