File:01 Neunzehneck E-8.svg

Summary[edit]

Description01 Neunzehneck E-8.svg	Deutsch: Neunzehneck (Enneakaidekagon), Näherungskonstruktion English: Enneadecagon, proximity construction
Date	10 March 2021
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Neunzehneck[edit]

Da eine Konstruktion allein mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, macht es Sinn das regelmäßige Neunzehneck als Näherungskonstruktion darzustellen. Um die erste Seitenlänge ${\displaystyle a}$ mit einer guten Näherung zu erhalten, bedarf es dazu nur ${\displaystyle 13}$ Konstruktionsschritte.

Konstruktionsbeschreibung[edit]

Nach dem Ziehen des Umkreises um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$, z. B. mit dem Radius ${\displaystyle =1\,\mathrm {[LE]} }$ und dem Einzeichnen der beiden Symmetrieachsen ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ und ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ wird der Radius ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ in ${\displaystyle E}$ halbiert. Es folgt das Bestimmen des Punktes ${\displaystyle F}$ folgend aus ${\displaystyle {\overline {EF}}=|EC|,}$ des Punktes ${\displaystyle G}$ folgend aus ${\displaystyle |BG|=|FC|}$ und der Kreisbogens um ${\displaystyle C}$ mit Radius ${\displaystyle |CG|,}$ bis dieser den Umkreis im ersten Eckpunktes ${\displaystyle E_{1}}$ des entstehenden Neunzehnecks schneidet. Anschließend wird der Punkt ${\displaystyle H}$ auf dem Radius ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ so bestimmt, dass ${\displaystyle {\overline {CH}}={\tfrac {1}{10}}\cdot {\overline {OC}}}$ ist. Beim Verbinden des Punktes ${\displaystyle H}$ mit ${\displaystyle F}$ ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle I}$ auf dem Kreisbogen ${\displaystyle CE_{1}G}$.

Es geht weiter mit dem Bestimmen des Punktes ${\displaystyle J}$ folgend aus ${\displaystyle |DJ|=|CG|}$ und dem Kreisbogen um ${\displaystyle D}$ mit Radius ${\displaystyle |DJ|}$ bis dieser den Umkreis in ${\displaystyle K}$ schneidet. Nach dem Bestimmen des Punktes ${\displaystyle L}$ folgend aus ${\displaystyle |JL|={\overline {FI}},}$ wird ${\displaystyle L}$ mit ${\displaystyle D}$ verbunden; somit entsteht der Schnittpunkt ${\displaystyle M}$ auf dem Kreisbogen ${\displaystyle DJK.}$ Nun wird eine gerade Linie (rot) ab ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle H}$ gezogen, bis diese den Umkreis im Eckpunkt ${\displaystyle E_{19}}$ schneidet. Die Verbindung ${\displaystyle E_{19}}$ mit ${\displaystyle E_{1}}$ liefert die erste Seitenlänge ${\displaystyle a}$ (rot) des Neunzehnecks. Abschließend wird ${\displaystyle a}$ siebzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abgetragen und die noch fehlenden Seiten bis zu einem fertigen Neunzehneck eingezeichnet.

Ergebnis bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE][edit]

• Konstruierte Seitenlänge des Neunzehnecks in GeoGebra ${\displaystyle a=0{,}329189264547664\,\mathrm {[LE]} }$
• Seite des Neunzehnecks ${\displaystyle a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)=0{,}329189180561467788\ldots \,\mathrm {[LE]} }$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0000000839\ldots \,\mathrm {[LE]} }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[edit]

Bei einem Radius r = 100 km wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge ca. 8,4 mm.

Enneadecagon[edit]

Since a construction with compass and ruler alone is not possible, it makes sense to represent the regular enneadecagon as an approximation. To get the first side length ${\displaystyle a}$ with a good approximation, only ${\displaystyle 13}$ construction steps are required.

Construction description[edit]

After dragging the circumference around the center point ${\displaystyle O}$, e.g. with the radius ${\displaystyle =1\,\mathrm {[unit\;of\;length]} }$ and the drawing of the two symmetry axes ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ and ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ the radius ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ is halved in ${\displaystyle E}$. This is followed by the determination of the point ${\displaystyle F}$ following from ${\displaystyle {\overline {EF}}=|EC|,}$ of the point ${\displaystyle G}$ following from ${\displaystyle |BG|=|FC|}$ and the circular arc around ${\displaystyle C}$ with radius ${\displaystyle |CG|,}$ until this the circumference in the first corner point ${\displaystyle E_{1}}$ of the resulting enneadecagon intersects. Then the point ${\displaystyle H}$ on the radius ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ is determined so that ${\displaystyle {\overline {CH}}={\tfrac {1}{10}}\cdot {\overline {OC}}}$ is. When connecting the point ${\displaystyle H}$ with ${\displaystyle F}$ the intersection point ${\displaystyle I}$ results on the circular arc ${\displaystyle CE_{1}G}$.

It continues with the determination of the point ${\displaystyle J}$ following from ${\displaystyle |DJ|=|CG|}$ and the circular arc around ${\displaystyle D}$ with radius ${\displaystyle |DJ|}$ until it cuts the circumference in ${\displaystyle K}$. After determining the point ${\displaystyle L}$ following from ${\displaystyle |JL|={\overline {FI}},}$ becomes ${\displaystyle L}$ with ${\displaystyle D}$ connected; this creates the intersection ${\displaystyle M}$ on the circular arc ${\displaystyle DJK.}$ Now a straight line (red) from ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle H}$ until it intersects the circumference at the corner ${\displaystyle E_{19}}$. The connection ${\displaystyle E_{19}}$ with ${\displaystyle E_{1}}$ delivers the first side length ${\displaystyle a}$ (red) of the enneadecagon. Finally, ${\displaystyle a}$ is removed seventeen times counterclockwise on the circumference and the remaining sides are drawn in up to a finished enneadecagon.

Result based on the unit circle r = 1 [unit of length][edit]

• Constructed side length of the enneadecagon in GeoGebra ${\displaystyle a=0.329189264547664\,\mathrm {[unit\;of\;length]} .}$
• Side of the enneadecagon ${\displaystyle a_{should}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)=0.329189180561467788\ldots \,\mathrm {[unit\;of\;length]} .}$
• Absolute error in the constructed side length ${\displaystyle F_{a}=a-a_{should}=0.0000000839\ldots \,\mathrm {[unit\;of\;length]} .}$

Example to illustrate the error[edit]

With a radius r = 100 km the absolute error of the constructed side length would be approx. 8.4 mm.