File:01-Würfelverdoppelung-E-15-1.svg

Summary[edit]

Description01-Würfelverdoppelung-E-15-1.svg	Deutsch: Würfelverdoppelung, Näherungskonstruktion English: Doubling the cube, proximity construction
Date	24 April 2018
Source	Own work
Author	Petrus3743
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion[edit]

1. Quadrat mit beliebiger Seitenlänge ${\displaystyle a_{1}}$, Ecken gegen den Uhrzeigersinn ${\displaystyle A,B,C,}$ und ${\displaystyle D}$.
2. Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Quadrates mithilfe zweier kurzer Diagonalenabschnitte, Umkreis des Quadrates.
3. Mittelachse durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle E,I,J,}$ und ${\displaystyle F}$.
4. Mittelachse senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle G,K,L,}$ und ${\displaystyle H}$.
5. Strecken ${\displaystyle {\overline {IN}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {IJ}},\;\;{\overline {IO}}={\overline {IN}}={\overline {NP}}={\overline {PQ}}}$.
6. Strecken ${\displaystyle {\overline {OR}}={\frac {1}{2}}\cdot {\overline {IO}}={\overline {ES}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle S}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle T}$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt ${\displaystyle U}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle G}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {IN}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |GU|={\overline {IN}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von ${\displaystyle V}$ als ${\displaystyle |PV|={\overline {PH}}}$ bis ${\displaystyle F_{1}}$ als ${\displaystyle |BF_{1}|={\overline {MQ}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle F_{1}}$ durch ${\displaystyle E_{1}}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle G_{1}}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle G_{1}}$ durch ${\displaystyle D_{1}}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in ${\displaystyle H_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von ${\displaystyle I_{1}}$ bis ${\displaystyle O_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Letzte Sekante von ${\displaystyle O_{1}}$ bis ${\displaystyle E}$ schneidet die Mittelachse ${\displaystyle {\overline {GH}}}$ in ${\displaystyle P_{1}}$.
10. Ein kurzer Kreisbogen um ${\displaystyle M}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {P_{1}M}}}$ liefert mit ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}}=a_{2}}$ die Seitenlänge des gesuchten Würfels 2.

• Somit ergibt sich:

Die Strecke P₁Q₁, sie entspricht der Seitenlänge a₂ des Würfels 2.

b) Ein Würfel 2 mit einem Volumen, das im Vergleich zum gegebenen Würfel 1 nahezu doppelt so groß ist.

Ergebnis[edit]

Bezogen auf einem Würfel mit der Seitenlänge a₁ = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des verdoppelten Würfels in GeoGebra ${\displaystyle a_{2}=1{,}259921049894872\;[LE]}$
• Seitenlänge des verdoppelten Würfels ${\displaystyle a_{2\;SOLL}={\sqrt[{3}]{2}}=1{,}259921049894873164...\;[LE]}$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des verdoppelten Würfels ${\displaystyle Fa_{2}=-1{,}16...E-15\;[LE]}$
• Volumen des verdoppelten Würfels mit konstruierter Seitenlänge in GeoGebra ${\displaystyle a_{2}{^{3}}=1{,}999999999999994453...\;[VE]}$
• Volumen des verdoppelten Würfels ${\displaystyle a_{2\;SOLL}{^{3}}=2{,}0\;[VE]}$
• Absoluter Fehler des Volumens mit konstruierter Seitenlänge ${\displaystyle F_{V}=a_{2}{^{3}}-a_{2\;SOLL}{^{3}}=-5{,}54...E-15\;[VE]}$

Beispiel um die Fehler zu verdeutlichen[edit]

• Bei einem Würfel 1 mit der Seitenlänge a₁ = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge a₂ des verdoppelten Würfels 2 ca. -1,2 mm.
• Bei einem Würfel 1 mit der Seitenlänge a₁ = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 ca. -5,5 dm³ oder ca. -5,5 Liter.

Proximity construction[edit]

1. Square with arbitrary side length ${\displaystyle a_{1}}$, corners counterclockwise ${\displaystyle A,B,C,}$ and ${\displaystyle D}$.
2. center ${\displaystyle M}$ of the square with the help of two short diagonal sections, circumcircle of the square.
3. Center axis through ${\displaystyle M}$ results in intersections ${\displaystyle E,I,J,}$ and ${\displaystyle F}$.
4. Center axis perpendicular to ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ through ${\displaystyle M}$ gives intersections ${\displaystyle G,K,L,}$ and ${\displaystyle H}$.
5. Line segments ${\displaystyle {\overline {IN}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {IJ}},\;\;{\overline {IO}}={\overline {IN}}={\overline {NP}}={\overline {PQ}}}$.
6. Line segments ${\displaystyle {\overline {OR}}={\frac {1}{2}}\cdot {\overline {IO}}={\overline {ES}}}$, circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle S}$ gives intersection ${\displaystyle T}$.
7. Determine function points:

It starts with the secant from ${\displaystyle F_{1}}$ through ${\displaystyle E_{1}}$ until it intersects the outer circle line in ${\displaystyle G_{1}}$. The next secant runs from the last obtained intersection point ${\displaystyle G_{1}}$ through ${\displaystyle D_{1}}$ until it again intersects the outer circle line in ${\displaystyle H_{1}}$. In this way also the points from ${\displaystyle I_{1}}$ to ${\displaystyle O_{1}}$ (order is to be taken from the course of the secants) are determined.

8. Drawing in the circle secants:

It starts with the secant from ${\displaystyle F_{1}}$ through ${\displaystyle E_{1}}$ until it intersects the outer circle line in ${\displaystyle G_{1}}$. The next secant runs from the last intersection point ${\displaystyle G_{1}}$ through ${\displaystyle D_{1}}$ until it again intersects the outer circular line in ${\displaystyle H_{1}}$. In this way, the points from ${\displaystyle I_{1}}$ to ${\displaystyle O_{1}}$ (the order can be seen from the course of the secants) are also determined.

9. Last secant from ${\displaystyle O_{1}}$ to ${\displaystyle E}$ intersects the central axis ${\displaystyle {\overline {GH}}}$ in ${\displaystyle P_{1}}$.
10. A short arc around ${\displaystyle M}$ with radius ${\displaystyle {\overline {P_{1}M}}}$ returns with ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}}=a_{2}}$ the side length of the cube 2 we are looking for.

• This results in:

The segment P₁Q₁, it corresponds to the side length a₂ of cube 2.

b) A cube 2 with a volume almost twice as large compared to the given cube 1.

Score[edit]

In relation to a cube with side length a₁ = 1 [unit of length]

• Constructed side length of the doubled cube in GeoGebra ${\displaystyle a_{2}=1.259921049894872\;[unit\;of\;length]}$
• Side length of the doubled cube ${\displaystyle a_{2\;should}={\sqrt[{3}]{2}}=1.259921049894873164...\;[unit\;of\;length]}$
• Absolute error of the constructed side length of the doubled cube ${\displaystyle Fa_{2}=-1.16...E-15\;[unit\;of\;length]}$
• Volume of the doubled cube with a constructed side length in GeoGebra ${\displaystyle a_{2}{^{3}}=1.999999999999994453...\;[unit\;of\;length]}$
• Volume of the doubled cube ${\displaystyle a_{2\;should}{^{3}}=2.0\;[unit\;of\;volume]}$
• Absolute error of the volume with a constructed side length ${\displaystyle F_{V}=a_{2}{^{3}}-a_{2\;should}{^{3}}=-5.54...E-15\;[unit\;of\;volume]}$

Example to illustrate the error[edit]

• For a cube 1 with the side length a₁ = 1 billion km (the light would need about 56 minutes for this distance), the error of the side length a₂ of the doubled cube 2 would be approx. -1.2 mm.
• For a cube 1 with the side length a1 = 10 km, the error of the volume of the doubled cube 2 would be approx. -5.5 dm³ or approx. -5.5 liter.

Licensing[edit]

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