File:01-Neunzehneck-Näherung-Variante.svg

Summary[edit]

Description01-Neunzehneck-Näherung-Variante.svg	Deutsch: Neunzehneck, Variante der Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode English: Enneadecagon, variant of an approximation construction with an universal method
Date	6 February 2018
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Konstruktion[edit]

Neunzehneck, Variante der Näherungskonstruktion
mit einer universellen Methode

Neunzehneck, Variante der Näherungskonstruktion
mit einer universellen Methode, Animation am Ende mit 10 s Pause

Zuerst wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, später der Durchmesser des gesuchten Neunzehnecks, in ${\displaystyle 19}$ gleichlange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von ${\displaystyle 19}$ gleichlangen Abständen bestimmt. Nun werden die geraden Zahlen (Teilungspunkte) ${\displaystyle 6,8}$ und ${\displaystyle 10}$ auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ markiert. Die anschließende Halbierung von ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ erfolgt mithilfe der vier kurzen Kreisbögen um ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Je zwei Kreisbögen schneiden sich in den Punkten ${\displaystyle C}$ bzw. ${\displaystyle D.}$ Durch deren Verbindung erhält man den Mittelpunkt ${\displaystyle F'}$ und die vertikale Mittelachse. Nach dem Einzeichnen des Umkreises um ${\displaystyle F'}$ durch ${\displaystyle A}$, geht es weiter mit dem Festlegen der Hilfspunkte ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ auf dem Umkreis.

Das Lineal wird an den Punkt ${\displaystyle C}$ und an die gerade Zahl ${\displaystyle 6}$ gelegt. Danach am Lineal entlang eine Linie bis zur gegenüberliegenden Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Punkt ${\displaystyle F.}$ Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen der Punkte ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H.}$ Im Anschluss folgt die Konstruktion des arithmetischen Mittels der Strecken ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ und ${\displaystyle {\overline {GH}}}$.

Beide Strecken werden aneinanderstoßend auf die vertikale Mittelachse ab dem Mittelpunkt ${\displaystyle F'}$ übertragen, sodass die Strecke ${\displaystyle {\overline {F'G'}}}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ entspricht und die Strecke ${\displaystyle {\overline {G'H'}}}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {GH}}}$. Nun wird die soeben zusammengesetzte Strecke ${\displaystyle {\overline {F'H'}}}$ mithilfe eines Kreisbogens mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {F'H'}}}$ an dem Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gespiegelt, dabei ergibt sich die Strecke ${\displaystyle {\overline {F'K}}.}$ Mit dem Kreisbogen um ${\displaystyle K}$ durch ${\displaystyle F'}$ ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle M.}$ Verbindet man den Punkt ${\displaystyle L}$ mit ${\displaystyle M}$ ist die Strecke ${\displaystyle {\overline {KF'}}}$ in ${\displaystyle N}$ halbiert.

Das arithmetische Mittel der Strecken ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ und ${\displaystyle {\overline {GH}}}$ ist somit als Strecke ${\displaystyle {\overline {KN}}}$ gefunden. Diese ist zugleich auch eine Näherung der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des gesuchten Neunzehnecks. Nun den ersten Eckpunkt ${\displaystyle E_{1}}$ als Schnittpunkt der unteren Hälfte der Umkreislinie mit der vertikalen Mittelachse markieren und abschließend die ermittelte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ab ${\displaystyle E_{1}}$ neunzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abgetragen. Somit ist das angenäherte regelmäßige Neunzehneck ${\displaystyle E_{1}\ldots E_{19}}$ fertiggestellt.

Ergebnis[edit]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE][edit]

• Konstruierte Seitenlänge des Neunzehnecks ${\displaystyle a=0{,}329119267686309\ldots \;[LE]}$
• Seitenlänge des Neunzehnecks ${\displaystyle a_{Soll}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)=0{,}329189180561468\ldots \;[LE]}$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge ${\displaystyle F_{a}=a-a_{Soll}=0{,}000069912875158\ldots \;[LE]}$
• Konstruierter Zentriwinkel des Neunzehnecks ${\displaystyle \mu =18{,}943307332258193\ldots ^{\circ }}$
• Zentriwinkel des Neunzehnecks ${\displaystyle \mu _{Soll}={\frac {360^{\circ }}{19}}=18{,}94736842105263\ldots ^{\circ }}$
• Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{Soll}=-0{,}004061088794438\ldots ^{\circ }}$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[edit]

Bei einem Umkreisradius R = 100 m wäre der absolute Fehler der ersten Seite ca. 7 mm.

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