File:01-Dreizehneck-3.svg

Summary[edit]

Description01-Dreizehneck-3.svg	Deutsch: Dreizehneck, Näherungskonstruktion English: Tridecagon, approximate construction
Date	18 March 2016
Source	Own work
Author	Petrus3743
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis[edit]

1. Kreis um ${\displaystyle M}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle E_{1}}$.
3. Gerade senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {AE_{1}}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$.
4. Strecken ${\displaystyle {\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$ eintragen.
5. Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle D}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle O}$.
6. Strecke ${\displaystyle {\overline {DJ}}={\overline {JA}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle J}$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt ${\displaystyle L}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle E_{1}}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {DI}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |E_{1}L|={\overline {DI}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von ${\displaystyle N}$ als ${\displaystyle |CN|={\overline {IJ}}}$ bis ${\displaystyle Y}$ als ${\displaystyle |CY|={\overline {CX}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle Y}$ durch ${\displaystyle W}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle Z}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle Z}$ durch ${\displaystyle V}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in ${\displaystyle A_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von ${\displaystyle B_{1}}$ bis ${\displaystyle J_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung von ${\displaystyle J_{1}}$ mit ${\displaystyle M}$ schneidet den innersten Kreis in ${\displaystyle E_{2}}$, als zweiten Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks.
10. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt ${\displaystyle E_{2}}$ die Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}$, sie entspricht der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des Dreizehnecks, elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

• Somit ergibt sich:

Eine Näherung des regelmäßigen Dreizehnecks E₁ bis E₁₃.

Ergebnis[edit]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE][edit]

• Konstruierte Seitenlänge des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) ${\displaystyle a=0{,}478631328575115\;[LE]}$
• Seitenlänge des Dreizehnecks ${\displaystyle a_{SOLL}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0{,}478631328575115\ldots \;[LE]}$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE]}$

• Konstruierter Zentriwinkel des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen, gerundet) ${\displaystyle \mu =27{,}6923076923077^{\circ }}$
• Zentriwinkel des Dreizehnecks ${\displaystyle \mu _{SOLL}=\left({\frac {360^{\circ }}{13}}\right)=27{,}{\overline {692307}}^{\circ }}$
• Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:

Bis zu den gerundet angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler ${\displaystyle F_{\mu }=\mu _{SOLL}-\mu =0^{\circ }}$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[edit]

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Proximity construction for a given radius[edit]

1. Circle around ${\displaystyle M}$ with any radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Straight line through ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle M}$ yields intersection ${\displaystyle E_{1}}$.
3. Straight line perpendicular to ${\displaystyle {\overline {AE_{1}}}}$ through ${\displaystyle M}$ yields intersections ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle C}$.
4. Line segments ${\displaystyle {\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$.
5. Circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle D}$ yields intersections ${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle O}$.
6. Line segments ${\displaystyle {\overline {DJ}}={\overline {JA}}}$, circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle J}$.
7. Determining the function points:

It starts with point ${\displaystyle L}$, whose distance to point ${\displaystyle E_{1}}$ is equal to the segment ${\displaystyle {\overline {DI}}}$. Described in the representation as ${\displaystyle |E_{1}L|={\overline {DI}}}$. In this way, the other function points from ${\displaystyle N}$ as ${\displaystyle |CN|={\overline {IJ}}}$ to ${\displaystyle Y}$ as ${\displaystyle |CY|={\overline {CX}}}$ (sequence see short description in the representation).

8. Drawing in the circle secant:

It starts with the secant from ${\displaystyle Y}$ through ${\displaystyle W}$ until it intersects the outer circle at ${\displaystyle Z}$. The next secant runs from the last received intersection ${\displaystyle Z}$ through ${\displaystyle V}$ until it also intersects the outer circle line in ${\displaystyle A_{1}}$. In this way, the points from ${\displaystyle B_{1}}$ to ${\displaystyle J_{1}}$ (order can be seen from the progression of the secants) are determined.

9. The connection of ${\displaystyle J_{1}}$ with ${\displaystyle M}$ intersects the innermost circle in ${\displaystyle E_{2}}$, as the second vertex of the tridecagon.
10. Draw on the circumcircle from the vertex ${\displaystyle E_{2}}$ the line segment ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}$, it corresponds to the side length ${\displaystyle a}$ of the tridecagon, eleven times counterclockwise and finally connect the adjacent vertices.

• Thus, the result is:

An approximation of the regular tridecagon ${\displaystyle E_{1}}$ to ${\displaystyle E_{13}}$.

Result[edit]

Based on the unit circle r = 1 [unit of length][edit]

• Constructed side length of tridecagon in GeoGebra (display max 15 decimal places) ${\displaystyle a=0.478631328575115\;[unit\;of\;length]}$
• Side length of the tridecagon ${\displaystyle a_{target}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0.478631328575115\ldots \;[unit\;of\;length]}$
• Absolute error of the constructed side length:

Up to the max. displayed 15 decimal places is the absolute error ${\displaystyle F_{a}=a-a_{target}=0.0\;[unit\;of\;length]}$

• Constructed central angle of the tridecagon in GeoGebra (display significant 13 decimal places, rounded) ${\displaystyle \mu =27.6923076923077^{\circ }}$
• Central angle of the tridecagon ${\displaystyle \mu _{target}=\left({\frac {360^{\circ }}{13}}\right)=27.{\overline {692307}}^{\circ }}$
• Absolute angular error of the constructed central angle:

Up to the rounded significant 13 decimal places is the absolute error ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{target}=0.0^{\circ }}$

Example to illustrate the error[edit]

At a circumscribed circle radius r = 1 billion km (the light would need about 55 min for this distance), the absolute error of the side length constructed would be < 1 mm.

Weblinks[edit]

• GeoGebra Dreizehneck (Tridecagon)
• Wikibooks: Dreizehneck mit Konstruktionsbeschreibung, Tridecagon with construction description

Licensing[edit]

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